encoding
Sinusoidal Position Encoding
\[\begin{aligned}
P E_{(p o s, 2 i)} &=\sin \left(\frac{p o s}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right) \\
P E_{(p o s, 2 i+1)} &=\cos \left(\frac{p o s}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right)
\end{aligned}
\]
pos + k 位置的encoding可以通过pos位置的encoding线性表示。它们的关系可以通过三角函数公式体现：
\[\begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta
\end{array}
\]
位置为 pos + k 的positional encoding 可以表示如下：
\[\begin{array}{l}
P E_{(p o s+k, 2 i)}=\sin \left(w_{i} \cdot(p o s+k)\right)=\sin \left(w_{i} p o s\right) \cos \left(w_{i} k\right)+\cos \left(w_{i} p o s\right) \sin \left(w_{i} k\right) \\
P E_{(p o s+k, 2 i+1)}=\cos \left(w_{i} \cdot(p o s+k)\right)=\cos \left(w_{i} p o s\right) \cos \left(w_{i} k\right)-\sin \left(w_{i} p o s\right) \sin \left(w_{i} k\right)
\end{array} \\
w_{i}=\frac{1}{10000^{2 i / d_{\text {model}}}}
\]
化简如下：
\[\begin{aligned}
P E_{(p o s+k, 2 i)} &=\cos \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i)}+\sin \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i+1)} \\
P E_{(p o s+k, 2 i+1)} &\left.=\cos \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i+1)}-\sin \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i)}\right)
\end{aligned}
\]
其中与k相关的项都是常数，所以 \(PE_{pos+k}\) 可以被 \(PE_{pos}\) 线性表示。
由于
\[P E_{(p o s, 2 i)} =\sin \left(pos \cdot \frac{1}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right) \\
T = 2 \pi \cdot 10000^{\frac{2i}{d_model}}
\]
所以i越大，周期就越大。周期的范围从 \(2 \pi\) 到 \(2 \pi \cdot 10000\)
Bert 中的 positional encoding
源码：
class BertEmbeddings(nn.Module):
def __init__(self, config):
super().__init__()
self.word_embeddings = nn.Embedding(config.vocab_size, config.hidden_size, padding_idx=config.pad_token_id) # (vocab_size, hidden_size)
self.position_embeddings = nn.Embedding(config.max_position_embeddings, config.hidden_size) # (512, hidden_size)
self.token_type_embeddings = nn.Embedding(config.type_vocab_size, config.hidden_size) # (2， hidden_size)
# self.LayerNorm is not snake-cased to stick with TensorFlow model variable name and be able to load
# any TensorFlow checkpoint file
self.LayerNorm = BertLayerNorm(config.hidden_size, eps=config.layer_norm_eps)
self.dropout = nn.Dropout(config.hidden_dropout_prob)
Bert 中的embedding是用三个embedding加起来的， positional encoding 也没有采用transformer中的三角函数，而是通过Embedding层训练得到。
