OO_JAVA_表达式求导

2023-01-05,

OO_JAVA_表达式求导_第一弹

---------------------------------------------------表达式提取部分

词法分析

​ 首先,每一个表达式内部都存在不可分割的字符组,比如一个不止一位的数字,或是一个sin三角函数,这样不能分离的字符组我称之为词法单元,依照其定义,可以将第三次作业的表达式分割成如下词法单元:

SPACE:即空格和TAB字符的组合
纯数字:即纯粹由0-9字符集组成
运算符:-、+、*、^,这些都是运算符
三角函数:sin或cos内部不可存在空格
左括号:(
右括号:)

​ 将一串字符解析成词法单元列表的形式,就已经是一层处理了,这一步就可以排查出一些错误,直接抛出异常,然后我们得到了一个由词法单元组成的列表,现在就是采用递归递降的方法线性解析这个列表并生成表达树了。

语法分析

仔细阅读指导书,可以归纳出如下定义:

Num = [-|+]纯数字
Factor = Num | x [^ Num] | sin ( Factor) [^ Num] | cos ( Factor) [^ Num] | (Expr)
Item = [-|+]Factor (*Factor)*
Expr = [-|+]Item ([-|+]Item)*

** 其中[]表示其中的字符存在或不存在皆可;()*表示可选重复0至任意次;| 表示或 **

除Num单元内部,其它语法单元内部可以任意插入SPACE

写作分析函数的原则有两条:

    采用分层次的设计思路,从归纳的语法定义就可以看出,需要写一个处理Expr的函数,一个处理Item的函数……需要子结构时调用相应函数即可。
    只处理本层次需要处理的字符,遇到非法字符,返回上层调用或者抛出异常;

当然,有人会说,这样只是写一堆递归函数(o(╯□╰)o,我就是这么写的),没有实行面对对象,其实,递归递降也是可以面对对象的。

模式匹配

首先需要一个Parser接口,实现如下(不一定)函数(为清晰起见,写的很简单

public interface Parser {
public Atom toAtom(); public Integer getIndex(); public void addParser(Parser parser);
}

分别是一个转换函数,一个获取新遍历下标的函数,一个添加子Parser的函数。

根据不同层级Parser的需要,完成相应函数的重写(Override)即可,举个栗子:

public class ExprParser implements Parser {
ArrayList<Parser> itemList;
// Integer endIndex; // private ExprParser() {
itemList = new ArrayList<>();
} @Override
public Atom toAtom() {
Atom root = new Atom(Atom.Type.PLUS, BigInteger.ZERO);
for (Parser parser:itemList) {
root.addChild(parser.toAtom());
}
return root;
} @Override
public Integer getIndex() {
return endIndex;
} public static Parser newParser(String string) {
Parser parser = new ExprParser();
for (int i = 0; i < string.length();) {
if (string.charAt(i) == '-' || string.charAt(i) == '+' ||
string.charAt(i) != ' ' && string.charAt(i) != '\t') {
Parser itemParser = ItemParser.newParser(string.substring(i));
parser.addParser(itemParser);
i = itemParser.getIndex();
} else {
i += 1;
}
}
return parser;
} @Override
public void addParser(Parser parser) {
itemList.add(parser);
}
}

依旧格式简易,但是只是为了说明怎么重写这样的函数,Atom即最后生成的表达树的节点类或者接口,随个人意。

另外没有显式抛出异常,真正写时需要在返回parser时检查item List是否为空,若为空,则显式抛出异常,进行异常处理。

现在说明一下,这个newParser工厂函数为什么这么写,为了清楚起见,我把Expr的定义重新拉过来:

Expr = [-|+]Item ([-|+]Item)*

这个语法定义告诉我们Expr线性扫描,检查是否有减号或是加号,然后需要获取一个Item,这时调用ItemParser的工厂函数即可,格式异常由不同层级的Parser实现类的工厂函数负责抛出,只要语法分析合理,这样写作是简单无误的。

以此类推,相信读懂了上述抽象的思维方式,写出Item和Factor的Parser对你易如反掌!

OO_JAVA_表达式求导_第二弹

------------------------------------------------表达树的构建

总体来说,按照设计模式上可以分为两类:本次实验还是建议第二种方式(虽然我用了第一种,,::>_<::)

    extends 继承,采取一个父类实现所需方法子类重写方法,但是为了统一填充到ArrayList或者HashMap中,必须采取子类cast回父类的方式,这样子类不能有自己的属性,否则无法cast;
    implements 实现,采取定义共通的接口,所有节点类重写接口中的方法,如求导方法、化简方法、toString方法。

在第三次作业中,我采用了继承的方案实现树形结构节点的构造,Atom父类实现了非常多的函数,现在的视角来看,是很不合理的,因为Atom负担了所有子类的函数,臃肿累赘,层次是分明了,只有父类Atom和子类各种Atom,但是在工程管理和逻辑架构设计上,还是有所问题的。

下面是我的Atom类图关系,其它类都继承自Atom很复杂把。

OO_JAVA_表达式求导_第三弹

-----------------------------如何将函数式思维带入化简函数

要实现化简合并,最好先完成两个准备工作(一个可选)

    expand:展开(可选),有时会遇见123*(x+123)这样的情况,*与+没有按照优先级组合,而是需要根据乘法分配率展开这样的项;
    flat Map:平铺,在处理字符串生成表达树以及求导表达树返回新表达树的过程中,会产生很多如1*(1*(1*x))连乘项或连加项嵌套的结果,平铺可以将之展开成为1*1*1*x的形式,利于下一步的分类和合并。

首先从宏观的角度抽象地理解化简,是怎么一回事,一共两步

    classification:分类,将能化简的规整在一起,不能化简的单独存放,最终结果是一个List<List<Atom>>,每一个List<Atom>存放的是可以合并的同类项;
    merge:合并,对不同的可合并List<Atom>进行合并处理,再新建一个父对象,将合并结果依次填回父对象的子节点中,返回父对象。

现在简单说明一下Java8引入的Stream API和lambda表达式(实际上是Functional Interface)

举个栗子,现在我们有一串数字在列表origin中,我们要对他们都平个方,生成一个新列表,正常做法如下:

List<Integer> after = new ArrayList<>();
for (Integer integer: origin) {
after.add(integer * integer);
}

但是有了Stream API和lambda表达式,就可以这么写:

List<Integer> after = origin.stream().map(e -> e * e).collect(toList());

Stream流的主要功能有filter(筛选),map(映射),flatMap(平铺映射),collect(收集返回列表或Map或其它)。

需要填充函数接口的参数的来源有两种:

    方法引用,比如Integer::add,就是对Integer的加法方法的一个引用,内秉其实是函数接口
    lambda表达式,基本形式为(参数列表)->返回值 或 (参数列表)->{语句; return 返回值;}组成。

现在问题来了,为什么要这么写呢?什么时候要写成哪一种形式呢?

这两种写法的主要区别在于逻辑的分离性与可控性:前者循环方式,循环流程完全由你掌控,可操作性极大,同时脑力负担也大一些;后者将循环体隐藏在Stream API的内部,你不需要在控制循环的方方面面,可以一层层地分离逻辑,减轻脑力负担,高效清晰地编写代码。
在循环体内部流程非常简单时,比如上述栗子,你选择哪一种都没有什么问题,无非是代码行数和内部执行效率的区别,但是,在具化到我要讲的classification过程时,也就是可以尽量分离循环体内部操作时,选择Stream API可以清晰地简单地生成新列表,下面就对此说明一下吧。

Classification可以分为四步:

    实现一个函数(满足Predicate接口定义),也就是一个泛化意义上的相等函数,用来判断两项能否合并;
    根据先前实现的接口,采用Stream的filter过滤器API,对每个元素,过滤出与之相等(可合并)的元素组成列表;
    依照先前产生的列表,统统插入到Map中,为保证key的唯一,采用每一个列表的toString方法结果作为key;
    将上述生成的Map的values取出,返回一个列表的列表,实现classification的功能。

上述过程就是一个逻辑不断分离的过程,对应到相加项和相乘项,唯一不同的就是Predicate接口,也是这么思维的意义所在。

这里把后三步的合并加法与合并乘法共通的代码贴出来:

public List<Atom> filter(Atom atom, Predicate<Atom> predicate) {
return this.children.stream()
.filter(predicate)
.collect(Collectors.toList());
} public ArrayList<List<Atom>> classify(Predicate<Atom> predicate) {
Map<String, List<Atom>> map = new HashMap<>();
for (Atom atom : children) {
ArrayList<Atom> list = (ArrayList<Atom>) this.filter(atom, predicate);
map.put(list.toString(), list);
}
return new ArrayList<>(map.values());
}

与上述思维类似,Merge也可分步进行:

    先merge所有子节点重新填充到新root节点中;
    使用classification,获取新root节点分类后的子节点列表的列表;
    创建新root节点,迭代前一步获取的列表,使用合并同类项函数(同类项列表=>合并后的项),将节点依次插入新的root节点中,返回。

继续拆分,上述第三步采用Stream的思路还可以拆分:

    产生Stream<List<Atom>>流;
    map映射List<Atom>到Atom,这里交由另一个函数接口负责;
    filter筛选需要添加至最终列表的项,这里依然可以分离出去交由另一个函数接口负责;
    最后collect函数收集流中的元素,返回List<Atom>,若为空,返回特定值。

这里举个例子就把合并相加项的filter调用的函数接口写一下吧:

Predicate<Atom> addPredicate = e -> !(
e.getType().equals(Atom.Type.CONSTANT) && e.getValue().equals(BigInteger.ZERO)
);

上述函数接口表明,如果元素e是一个常数0了话,返回false否则返回true。

综上所述,如果你理解了分离逻辑的操作后,写出清晰简洁的代码应该是易如反掌把!

OO_JAVA_表达式求导的相关教程结束。

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