当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候，整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言，是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构，我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树 。
二叉查找树的特点
下面的图就是两棵二叉查找树，我们可以总结一下他的特点：
(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树
我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列： 【1 2 3 4 5 6 7 8 】
二叉查找树的操作
插入操作：
现在我们要查找一个数9，如果不存在则，添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程：
1). 数9和根节点4比较(9>4)，则9放在节点4的右子树中。
2). 接着，9和节点5比较(9>5)，则9放在节点5的右子树中。
3). 依次类推：直到9和节点8比较(9>8)，则9放在节点8的右子树中，成为节点8的右孩子。
这个过程我们能够发现，动态添加任何一个数据，都会加在原树结构的叶子节点上，而不会重新建树。 由此可见，动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。
删除操作：
如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在，则删除的时候需要改变一些子树结构，但所需要付出的代价很小。
具体的插入，删除算法请参加《数据结构算法与应用——搜索树》P5-8。[该章节已经上传到《查找结构专题(6)：动态查找树比较 》中]。
二叉查找树的效率分析
那么我们再来看看二叉查找树的效率问题
很显然，在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据，并不需要遍历全部的节点元素，查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题：我们在a图中查找8需要比较5次数据，而在B图中只需要比较3次。更为严重的是：如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树，整棵树就退化成了一个线性结构（如c输入图：单支树），此时查找8需要比较8次数据，和顺序查找没有什么不同。
总结一下：最坏情况下，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(N)成正比 （O(log2(n))）。
这说明：同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。
那么如何解决这个问题呢? 我们会在下面的专题中：《平衡二叉树》 中来解决。
package net.hr.algorithm.search; import java.util.ArrayList; /** * 二叉树节点结构 * @author heartraid */ class BSTNode<E extends Comparable<E>>{ /**结点关键字*/ E key=null; /**直接父亲结点*/ BSTNode<E> parent=null; /**结点左子树的根节点*/ BSTNode<E> lchild=null; /**结点右子树的根节点*/ BSTNode<E> rchild=null; BSTNode(E k){ this.key=k; } } /** * 二叉查找树 Binary Search Tree(BST) * @author heartraid * */ public class BST<E extends Comparable<E>> { /**树根*/ private BSTNode<E> root=null; public BST(){ } /** * BST 查询关键字 * @param key 关键字 * @return 查询成功/true, 查询失败/false */ public boolean search(E key){ System.out.print("搜索关键字["+key+"]："); if(key==null||root==null){ System.out.println("搜索失败"); return false; } else{ System.out.print("搜索路径["); if(searchBST(root,key)==null){ return false; } else return true; } } /** * BST插入关键字 * @param key 关键字 * @return 插入成功/true, 插入失败/false */ public boolean insert(E key){ System.out.print("插入关键字["+key+"]："); if(key==null) return false; if(root==null){ System.out.println("插入到树根。"); root=new BSTNode<E>(key); return true; } else{ System.out.print("搜索路径["); return insertBST(root,key); } } public boolean delete(E key){ System.out.print("删除关键字["+key+"]："); if(key==null||root==null){ System.out.println("删除失败"); return false; } else{ System.out.print("搜索路径["); //定位到树中待删除的结点 BSTNode<E> nodeDel=searchBST(root,key); if(nodeDel==null){ return false; } else{ //nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树 if(nodeDel.rchild==null){ BSTNode<E> parent=nodeDel.parent; if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0) parent.lchild=nodeDel.lchild; else parent.rchild=nodeDel.lchild; } //左子树为空,则重接它的右子树 else if(nodeDel.lchild==null){ BSTNode<E> parent=nodeDel.parent; if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0) parent.lchild=nodeDel.rchild; else parent.rchild=nodeDel.rchild; } //左右子树均不空 else{ BSTNode<E> q=nodeDel; //先找nodeDel的左结点s BSTNode<E> s=nodeDel.lchild; //然后再向s的右尽头定位(这个结点将替代nodeDel)，其中q一直定位在s的直接父亲结点 while(s.rchild!=null){ q=s; s=s.rchild; } //换掉nodeDel的关键字为s的关键字 nodeDel.key=s.key; //重新设置s的左子树 if(q!=nodeDel) q.rchild=s.lchild; else q.lchild=s.lchild; } return true; } } } /** * 递归查找关键子 * @param node 树结点 * @param key 关键字 * @return 查找成功，返回该结点，否则返回null。 */ private BSTNode<E> searchBST(BSTNode<E> node, E key){ if(node==null){ System.out.println("]. 搜索失败"); return null; } System.out.print(node.key+" —>"); //搜索到关键字 if(node.key.compareTo(key)==0){ System.out.println("]. 搜索成功"); return node; } //在左子树搜索 else if(node.key.compareTo(key)>0){ return searchBST(node.lchild,key); } //在右子树搜索 else{ return searchBST(node.rchild,key); } } /** * 递归插入关键字 * @param node 树结点 * @param key 树关键字 * @return true/插入成功，false/插入失败 */ private boolean insertBST(BSTNode<E> node, E key){ System.out.print(node.key+" —>"); //在原树中找到相同的关键字，无需插入。 if(node.key.compareTo(key)==0) { System.out.println("]. 搜索有相同关键字，插入失败"); return false; } else{ //搜索node的左子树 if(node.key.compareTo(key)>0){ //如果当前node的左子树为空，则将新结点key node插入到左孩子处 if(node.lchild==null) { System.out.println("]. 插入到"+node.key+"的左孩子"); BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key); node.lchild=newNode; newNode.parent=node; return true; } //如果当前node的左子树存在，则继续递归左子树 else return insertBST(node.lchild, key); } //搜索node的右子树 else{ if(node.rchild==null){ System.out.println("]. 插入到"+node.key+"的右孩子"); BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key); node.rchild=newNode; newNode.parent=node; return true; } else return insertBST(node.rchild,key); } } } /** * 得到BST根节点 * @return BST根节点f */ public BSTNode<E> getRoot(){ return this.root; } /** * 非递归中序遍历BST */ public void InOrderTraverse(){ if(root==null) return; BSTNode<E> node=root; ArrayList<BSTNode<E>> stack=new ArrayList<BSTNode<E>>(); stack.add(node); while(!stack.isEmpty()){ while(node.lchild!=null){ node=node.lchild; stack.add(node); } if(!stack.isEmpty()){ BSTNode<E> topNode=stack.get(stack.size()-1); System.out.print(topNode.key+" "); stack.remove(stack.size()-1); if(topNode.rchild!=null){ node=topNode.rchild; stack.add(node); } } } } /** * 测试 */ public static void main(String[] args) { BST<Integer> tree=new BST<Integer>(); tree.insert(new Integer(100)); tree.insert(new Integer(52)); tree.insert(new Integer(166)); tree.insert(new Integer(74)); tree.insert(new Integer(11)); tree.insert(new Integer(13)); tree.insert(new Integer(66)); tree.insert(new Integer(121)); tree.search(new Integer(11)); tree.InOrderTraverse(); tree.delete(new Integer(11)); tree.InOrderTraverse(); } }
