第 24 天
数学（中等）
剑指 Offer 14- I. 剪绳子
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
题解思路：动态规划、贪婪算法
动态规划：不断计算切一刀后乘积的变化
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
// 记录长度为 i 的绳子乘积最大值
int[] dp = new int[n + 1];
dp[2] = 1;
// 从绳子长度为 3 开始计算，因为长度为 2 时为1
for (int i = 3; i <= n; i ++) {
// 计算减长度为 j 的一刀后是否继续减，如果剪完 j 后继续剪，乘积为 dp[i-j]*j，如果不减，则乘积为 (i-j)*j
for (int j = 2; j < i; j ++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i-j]*j, (i-j)*j));
}
}
return dp[n];
}
}
复杂度：时间 O(n*n) 空间 O(n)
贪婪算法：获得尽可能多的 3，可以用求导证明
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n < 4){
return n - 1;
}
int res = 1;
while(n > 4){
res *= 3;
n -= 3;
}
return res * n;
}
}
复杂度：时间 O(n) 空间 O(1)
剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列
输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。
示例 1：
输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]
示例 2：
输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]
限制：
1 <= target <= 10^5
题解思路：滑动窗口
滑动窗口：双指针构成滑动窗口，搜索所有可以的集合
class Solution {
public int[][] findContinuousSequence(int target) {
int i = 1, j = 2;
int sum = 3;
List<int[]> res = new ArrayList<>();
while(i < j) {
if(sum > target) {
sum -= i;
i ++;
}
else if (sum < target){
j ++;
sum += j;
}
else if (sum == target) {
int[] ans = new int[j - i + 1];
for(int k = i; k <= j; k++) {
ans[k - i] = k;
}
res.add(ans);
sum -= i;
i++;
}
}
return res.toArray(new int[0][]);
}
}
复杂度：时间 O(n) 空间 O(n)
剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字
0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
示例 1：
输入: n = 5, m = 3
输出: 3
示例 2：
输入: n = 10, m = 17
输出: 2
限制：
1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6
题解思路：模拟、动态规划、递归
模拟：循环队列模拟
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
list.add(i);
}
int idx = 0;
while (n > 1) {
idx = (idx + m - 1) % n;
list.remove(idx);
n--;
}
return list.get(0);
}
}
复杂度：时间 O(n) 空间 O(n)
动态规划：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
int f = 0;
for (int i = 2; i != n + 1; ++i) {
f = (m + f) % i;
}
return f;
}
}
复杂度：时间 O(n) 空间 O(1)
递归：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
return f(n, m);
}
public int f(int n, int m) {
if (n == 1) {
return 0;
}
int x = f(n - 1, m);
return (m + x) % n;
}
}
复杂度：时间 O(n) 空间 O(n)
