nlogn 求最长上升子序列 LIS

最近在做单调队列，发现了最长上升子序列O(nlogn)的求法也有利用单调队列的思想。

最长递增子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。

设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].

这样简单的复杂度为O(n^2)，其实还有更好的方法。

考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显 然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一 样时，尽量选择更小的a[x].

按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

这时注意到d的两个特点（重要）：

1. d[k]在计算过程中单调不升；

2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。

    /**

    最长递增子序列O(nlogn)算法：

    状态转移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i].

    分析：加入x<y,f[x]>=f[y],则x相对于y更有潜力。

    首先根据f[]值分类，记录满足f[t]=k的最小的值a[t],记d[k]=min{a[t]},f[t]=k.

        1.发现d[k]在计算过程中单调不上升

        2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反证) 1 2 3 8 4 7

    解法：

    1. 设当前最长递增子序列为len,考虑元素a[i];

    2. 若d[len]<a[i],则len++，并将d[len]=a[i];

       否则,在d[0-len]中二分查找,找到第一个比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].()

    */

    #include <iostream>

    #include <cstdio>

    #include <cstring>

    using namespace std;

    const int N = ;

    int a[N];       //a[i] 原始数据

    int d[N];       //d[i] 长度为i的递增子序列的最小值  

    int BinSearch(int key, int* d, int low, int high)

    {

        while(low<=high)

        {

            int mid = (low+high)>>;

            if(key>d[mid] && key<=d[mid+])

                return mid;

            else if(key>d[mid])

                low = mid+;

            else

                high = mid-;

        }

        return ;

    }  

    int LIS(int* a, int n, int* d)

    {

        int i,j;

        d[] = a[];

        int len = ;        //递增子序列长度

        for(i = ; i <= n; i++)

        {

            if(d[len]<a[i])

                j = ++len;

            else

                j = BinSearch(a[i],d,,len) + ;

            d[j] = a[i];

        }

        return len;

    }  

    int main()

    {

        int t;

        int p;

        scanf("%d",&t);

        while(t--)

        {

            scanf("%d",&p);

            for(int i = ; i <= p; i++)

                scanf("%d",&a[i]);

            printf("%d\n",LIS(a,p,d));

        }

        return ;

    }  

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