【BZOJ 1019】【SHOI2008】汉诺塔（待定系数法递推）

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

HINT

Source

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分析：因为汉诺塔问题都是递归解决，所以在优先级不变的情况下，f(n)与f(n-1)满足递推关系，即f(n)=a*f(n-1)+b，所以暴力f(3)f(4)f(5)，求出a,b,然后递推后面f[n]

code:

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<vector>

 #include<string>

 using namespace std;

 long long f[];

 char s[][];

 int stack[][],len[],m,n;

 int dfs(int k,char c)

 {

     if(len[]==&&len[]==) return k-;

     if(len[]==&&len[]==) return k-;

     for(int i=;i<=;++i)

         if(s[i][]!=c||k==)

         {

             int x,y;

             if(s[i][]=='A') x=;if(s[i][]=='B') x=;if(s[i][]=='C') x=;

             if(s[i][]=='A') y=;if(s[i][]=='B') y=;if(s[i][]=='C') y=;

             if(len[x]<=) continue;

             if(stack[x][len[x]]>stack[y][len[y]]&&len[y]>) continue;

             --len[x],++len[y];

             stack[y][len[y]]=stack[x][len[x]+];

             return dfs(k+,s[i][]);

         }

     return ;

 }

 int main()

 {

     freopen("ce.in","r",stdin);

     freopen("ce.out","w",stdout);

     scanf("%d\n",&m);

     for(int i=;i<=;++i)

         for(int j=;j<=;++j) scanf("%c",&s[i][j]);

     memset(len,,sizeof(len));

     memset(stack,,sizeof(stack));

     stack[][]=,len[]=;

     f[]=dfs(,'D');

     memset(len,,sizeof(len));

     memset(stack,,sizeof(stack));

     stack[][]=,stack[][]=,len[]=;

     f[]=dfs(,'D');

     memset(len,,sizeof(len));

     memset(stack,,sizeof(stack));

     stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,len[]=;

     f[]=dfs(,'D');

     memset(len,,sizeof(len));

     memset(stack,,sizeof(stack));

     stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,len[]=;

     f[]=dfs(,'D');

     memset(len,,sizeof(len));

     memset(stack,,sizeof(stack));

     stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,stack[][]=,len[]=;

     f[]=dfs(,'D');

     int a=(f[]-f[])/(f[]-f[]);

     int b=f[]-a*f[];

     for(int i=;i<=m;++i) f[i]=a*(f[i-])+b;

     printf("%lld",f[m]);

     return ;

 }