最近写的一些题目设计到了数论的取模
如下题
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3003/G
来源：牛客网
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空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
牛可乐有七个整数 a,b,c,d,e,f,g.并且他猜想ad +be+cf =g 但是牛可乐无法进行如此庞大的计算。请验证牛可乐的猜想是否成立。
输入描述:
第一行一个正整数 T，表示有 T 组数据。
每组数据输入一行七个整数a,b,c,d,e,f,g 。
保证 1≤T≤1000 , −109≤a,b,c,g≤109, 0≤d,e,f≤109 保证不会出现指数和底数同为 0 的情况。
输出描述:
每组数据输出一行，若猜想成立，输出 Yes ，否则输出 No。
示例：
输入：
2
1 1 4 5 1 4 258
114514 1919810 1 2 3 4 1
输出：
Yes
No
说明：
15+11+44=258
1145142+19198103+14 ≠ 1
这一题设计数论中的取模知识，现实运用则是快速幂（这题就是快速幂的模板题），然后快速幂就涉及位运算，所以此文就以此题为扩展，浅谈MOD运算快速幂与位运算。
当然这题直接暴力也行，但主要学习快速幂，先给暴力再标程（这个是提交记录里找的一个河南理工学长的代码（学长一直在更改代码提交，等等再研究他在思考什么），看了感觉他的代码长度较短，易懂，运行时间很短，内存占据较少，学长主页：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/profile/287389065）
暴力：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 int main(){
4 long long n,a,b,c,d,e,f,g;
5 cin>>n;
6 while(n--){
7 cin>>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;
8 long long x=pow(a,d),y=pow(b,e),z=pow(c,f);
9 if(x+y+z==g)cout<<"Yes"<<endl;
10 else cout<<"No"<<endl;
11 }
12 return 0;
13 }
快速幂：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 const int mod=252585;
5 ll qk(ll a,ll b)
6 {
7 ll res=1;
8 while(b)
9 {
10 if(b&1) res=res*a%mod;
11 a=a*a%mod;
12 b>>=1;
13 }
14 return res;
15 }
16 int main()
17 {
18 int t;
19 cin >>t;
20
21 while(t--)
22 {
23 ll a,b,c,d,e,f,g;
24 cin >>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;
25 if(((qk(a,d)+qk(b,e))%mod+qk(c,f))%mod==g%mod) cout <<"Yes"<<endl;
26 else cout <<"No"<<endl;
27 }
28
29 }
位运算：
基本运算符：
‘&’ 实际运用：
（1）判断奇偶
因为二进制中偶数最后一位必定是0，奇数必定是1，所以对对一个数进行&运算等价于%=2
（2）清零
若想对一个存储单元清零，即使其全部二进制位为0，只要找一个二进制数，其中各个位符合一下条件：
原来的数中为1的位，新数中相应位为0。然后使二者进行&运算，即可达到清零目的。
例：
66（10）= 01000010（2）
189（10） = 10111101（2）
则 66&189 = 0
（3）取一个数中某些特定位
若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节，只需要将a与8个1按位与即可。
（4）保留指定位
例如：有一数84，即01010100（84），想把其中从左边算起的第3，4，5，7，8位保留下来，运算如下：
‘ | ’ 实际运用：
更改指定位置为1
例：如果想使一个数a的低4位改为1，则只需要将a与17（8）进行按位或运算即可。
‘ ^ ’实际运用
(1)GCD快速求解
1 int GCD(int a,int b){
2 while(b^=a^=b^=a%=b); //与a,b大小顺序无关
3 return a;
4 }
(2)使特定位翻转
设有数01111010（2），想使其低4位翻转，即1变0，0变1.可以将其与00001111（2）进行“异或”运算，即：
运算结果的低4位正好是原数低４位的翻转。可见，要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为１即可。
（3）与0相“异或”，保留原值
例如：012^00=012
因为原数中的1与0进行异或运算得1，0^0得0，故保留原数。
(4)交换两个值，不用临时变量
例如：ａ＝3，即 1|1|（2)；ｂ＝４，即1|0|0（2）。
想将ａ和ｂ的值互换，可以用以下赋值语句实现：
ａ＝a^b;
ｂ＝b^a;
ａ＝a^b;
ａ＝011(2)
（^）ｂ＝100(2)
ａ＝111(2)（a^b的结果，a已变成７）
（^）ｂ＝100(2)
ｂ＝011(2)（b^a的结果，b已变成３）
（^）ａ＝111(2)
ａ＝100（2）（a^b的结果，a已变成４）
--等效于以下两步：
① 执行前两个赋值语句：“ａ＝ａ^ｂ；”和“ｂ＝ｂ^ａ；”相当于b=b^(a^b)；
② 再执行第三个赋值语句： ａ＝ａ^ｂ。由于a的值等于（ａ^ｂ），b的值等于（ｂ^ａ^ｂ），因此，相当于a=ａ^ｂ^ｂ^ａ^ｂ，即a的值等于ａ^ａ^ｂ^ｂ^ｂ，等于ｂ。
左右移实际运用：
左右移x相当于乘除2的x次（都是在未溢出的情况下）,为了更好理解以十进制数为例，12345类似左移为123450相当于乘10，右移则是1234相当于除以10.因为是位运算所以比单纯的乘除要快。
左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15 << 2=60，即乘了4 。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
假设以一个字节（8位）存一个整数，若ａ为无符号整型变量，则ａ＝64时，左移一位时溢出的是0，而左移2位时，溢出的高位中包含1。
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位填补（即“算术移位”），而另 一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。
注意：
对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移 位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755，
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
MOD运算：
取余与取模还是有区别的，见 https://blog.csdn.net/coder_panyy/article/details/73743722
mod运算，即求余(取模)运算，是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算，其格式为： mod(nExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
重要定理：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)；（13）
a≡b (mod n)表示a与b对模n同余。
“≡”是数论中表示同余的符号。即给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能被n整除，即(a-b)modn=0，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(modn)，同时可成立amodn=b。
*扩展资料
同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余的主要性质如下：
1、自反性：a≡a（mod m）。
2、对称性：若a≡b（mod m）,则b≡a（mod m）。
3、传递性： 若a≡b（mod m)，b≡c（mod m）, 则a≡c（mod m）。
快速幂：
首先推荐一篇博客，讲的非常透彻 https://blog.csdn.net/qq_19782019/article/details/85621386
所以这里简单搬运和演示
我们在初等数学中已知指数函数图像如下图：
那么在指数X超过某一值时，a^x 的值就开始急剧增长，以 → ∞，所以结果则会超过数据范围，因此我们需要结合MOD运算公式（公式（3）或者公式（4））对计算进行精确。
则此时的核心代码如下：
1 /**
2 * 普通的求幂函数
3 * @param base 底数
4 * @param power 指数
5 * @return 求幂结果的最后3位数表示的整数
6 */
7 long long normalPower(long long base,long long power){
8 long long result=1;
9 for(int i=1;i<=power;i++){
10 result=result*base;
11 result=result%1000;
12 }
13 return result%1000;
14 }
如果直接了当的求解pow(a,n)，那么时间复杂度为O（N），既N次循环。
那么快速幂的核心思想就是“遇奇则减，遇偶则方（“开方与平方”）”，如求3^10，则有以下路径：
3^10 = 9^5 //遇偶则方
9^5 = 9^4 * 9^1 //遇奇则减
9^4 = 81^2
81^2 = 6561^0 * 6561^1 那么 3^10 = 6561^0 * 6561^1 * 9^1
原本需要10次的算法，我们通过快速幂4次就算出了结果，由O(N) -> O(log N)
搬运上述博客模拟动图
那么代码将变为：
1 long long fastPower(long long base, long long power) {
2 long long result = 1;
3 while (power > 0) {
4 if (power % 2 == 0) {
5 //如果指数为偶数
6 power = power / 2;//把指数缩小为一半
7 base = base * base % 1000;//底数变大成原来的平方
8 } else {
9 //如果指数为奇数
10 power = power - 1;//把指数减去1，使其变成一个偶数
11 result = result * base % 1000;//此时记得要把指数为奇数时分离出来的底数的一次方收集好
12 power = power / 2;//此时指数为偶数，可以继续执行操作
13 base = base * base % 1000;
14 }
15 }
16 return result;
17 }
将语句简化：
1 long long fastPower(long long base, long long power) {
2 long long result = 1;
3 while (power > 0) {
4 if (power % 2 == 1) {
5 result = result * base % 1000;
6 }
7 power = power / 2;
8 base = (base * base) % 1000;
9 }
10 return result;
11 }
结合位运算：
long long fastPower(long long base, long long power) {
long long result = 1;
while (power > 0) {
if (power & 1) {//此处等价于if(power%2==1)
result = result * base % 1000;
}
power >>= 1;//此处等价于power=power/2
base = (base * base) % 1000;
}
return result;
}
所以得到模板：
1 typedef long long ll;
2 const ll mod=1e9+7;
3 ll fastPower(ll base,ll power)
4 {
5 ll ans=1, res=base;
6 while(power){
7 if(power&1) ans=ans*res%mod;
8 res=res*res%mod;
9 power>>=1;
10 }
11 return ans%mod;
12 }
扩展递归写法：
注：不建议使用递归写法，容易超内存！
1 typedef long long ll;
2 const ll mod=1e9+7;
3 ll fastPower(ll m,ll n){
4 if(n==1) return m;
5 int temp=fastPower(m,n>>1);
6 return (n&1? m%mod : 1)*temp*temp%mod; //奇偶在此表现出差异
7 }
