参数估计(二)

1.距估计步骤
已知

α1=E(X)α2=D(X)+[E(X)]2{ \alpha }_{ 1 }=E(X)\\ { \alpha }_{ 2 }=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }α1​=E(X)α2​=D(X)+[E(X)]2
A1=X‾A2=1n∑i=1nXi2{ A }_{ 1 }=\overline{X} \\ { A }_{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }A1​=XA2​=n1​∑i=1n​Xi2​

例子:求总体均值$\mu =E(X)$与方差σ2=D(X){\sigma}^{2}=D(X)σ2=D(X)的矩估计量

(1)列出总体的前m阶原点矩
α1=E(X)=μ{\alpha}_{1}=E(X)=\muα1​=E(X)=μ
α2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2{\alpha}_{2}=E({X}^{2})=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 } + { \mu }^{ 2 }α2​=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2
(2)把需要求的参数用总体距表示出来:
μ=α1\mu={\alpha}_{1}μ=α1​
σ2=α2−α12{ \sigma }^{ 2 }={\alpha}_{2}-{{\alpha}_{1}}^{2}σ2=α2​−α1​2
(3)用样本的各阶原点矩代替总体原点矩
μ^=A1=Xˉσ^2=A2−A12=1n∑i=1nXi2−Xˉ2=S∗2\hat { \mu } ={ A }_{ 1 }=\bar { X } \\ { \hat { \sigma } }^{ 2 }={ A }_{ 2 }-{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }-{ \bar { X } }^{ 2 }={ S }^{ *2 }μ^​=A1​=Xˉσ^2=A2​−A1​2=n1​∑i=1n​Xi2​−Xˉ2=S∗2

当给出概率密度函数的时候
总体的均值=[x*(概率密度函数)]的积分

离散型的
总体的均值=(各点值✖️各点概率)相加

2.极大似然估计步骤
离散型
各个实验结果对应的概率相乘即为似然函数
连续型

(1)写出似然函数
L(θ)={∏i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体L(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ f\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,连续总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ P\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}L(θ)={∏i=1n​f(xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),连续总体∏i=1n​P(Xi​=xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),离散总体​
(2)对似然函数取对数
lnL(θ)={∏i=1nlnf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nlnP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体lnL(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnf\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,连续总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnP\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}lnL(θ)={∏i=1n​lnf(xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),连续总体∏i=1n​lnP(Xi​=xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),离散总体​
(3)建立似然方程,对m个$\theta$求偏导
∂lnL(θ1,θ2,...,θm)∂θj=0,j=1,..,m\frac { \partial lnL({\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m}) }{ \partial { \theta }_{ j } } =0,j=1,..,m∂θj​∂lnL(θ1​,θ2​,...,θm​)​=0,j=1,..,m
(4)解出似然方程,求出最大的$\theta$,若不可微分,用其他方法.

鉴定估计的标准

无偏性
样本k阶原点距是总体k阶原点矩的无偏估计吗

E(Ak)=1n∑i=1nXik=E(Xik)=E(Xk)=αkE({ A }_{ k })=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ k } } =E({ X }_{ i }^{ k })=E({ X }^{ k })={ \alpha }_{ k }E(Ak​)=n1​∑i=1n​Xik​=E(Xik​)=E(Xk)=αk​

有效性

比较无偏性后,比较方差,
1.先算出两个估计量的方差

相合性
有效估计的均方误差准则

区间估计公式

(1)$\mu 的区间估计$

(Xˉ−σnμα2,Xˉ+σnμα2)(\bar { X } -\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } },\bar { X } +\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } })(Xˉ−n​σ​μ2α​​,Xˉ+n​σ​μ2α​​)

σ2未知时μ的区间估计{\sigma}^{2}未知时\mu的区间估计σ2未知时μ的区间估计

(Xˉ−S∗ntα2(n−1),Xˉ+S∗ntα2(n−1))(\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1))(Xˉ−n​S∗​t2α​​(n−1),Xˉ+n​S∗​t2α​​(n−1))

σ2{\sigma}^{2}σ2的区间估计

((n−1)S∗2χα22(n−1),(n−1)S∗2χ1−α22(n−1))(\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } ,\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } )(χ2α​2​(n−1)(n−1)S∗2​,χ1−2α​2​(n−1)(n−1)S∗2​)

(2)μ1−μ2{\mu}_{1}-{\mu}_{2}μ1​−μ2​的区间估计

{(Xˉ−Yˉ)∓μα2σ12n1+σ22n2}\left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { \sigma }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { \sigma }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } \right\}{(Xˉ−Yˉ)∓μ2α​​n1​σ12​​+n2​σ22​​​}

σ12=σ22=σ2但σ2未知{ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }={ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 }但{ \sigma }^{ 2 }未知σ12​=σ22​=σ2但σ2未知

{(Xˉ−Yˉ)∓tα2(n1+n2−2)Sw1n1+1n2}\left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2){ S }_{ w }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } \right\}{(Xˉ−Yˉ)∓t2α​​(n1​+n2​−2)Sw​n1​1​+n2​1​​}
其中Sw=(n1−1)S1∗n12+(n2−1)S2∗2n2n1+n2−2{ S }_{ w }=\sqrt { \frac { ({ n }_{ 1 }-1){ { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 }+({ n }_{ 2 }-1){ { S }_{ 2 }^{ *2 } }_{ { n }_{ 2 } } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 } }Sw​=n1​+n2​−2(n1​−1)S1∗​n1​2​+(n2​−1)S2∗2​n2​​​​

σ12和σ22均未知,但n1=n2=n{ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }和{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }均未知,但{n}_{1}={n}_{2}=nσ12​和σ22​均未知,但n1​=n2​=n

{Zˉ−SZ∗ntα2(n−1),Zˉ+SZ∗ntα2(n−1)}\left\{ \bar { Z } -\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { Z } +\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1) \right\}{Zˉ−n​SZ∗​​t2α​​(n−1),Zˉ+n​SZ∗​​t2α​​(n−1)}
其中Zˉ=Xˉ−Yˉ,SZ∗=1n−1∑i=1n(Zi−Zˉ)2\bar { Z } =\bar { X } -\bar { Y },{ S }_{ Z }^{ * }=\sqrt { \frac { 1 }{ n-1 } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ Z }_{ i }-\bar { Z } ) }^{ 2 } } }Zˉ=Xˉ−Yˉ,SZ∗​=n−11​∑i=1n​(Zi​−Zˉ)2​

σ12/σ22{ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }/{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }σ12​/σ22​的区间估计

{F1−α2(n2−1,n1−1)S1∗n12S2∗n22,Fα2(n2−1,n1−1)S1∗n12S2∗n22}\left\{ { F }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } ,{ F }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } \right\}{F1−2α​​(n2​−1,n1​−1)S2∗​n2​2​S1∗​n1​2​​,F2α​​(n2​−1,n1​−1)S2∗​n2​2​S1∗​n1​2​​}

非正态总体的区间估计

指数分布λ的区间估计

{χ1−α22(2n)2nXˉ,χα22(2n)2nXˉ}\left\{ \frac { { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } ,\frac { { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } \right\}{2nXˉχ1−2α​2​(2n)​,2nXˉχ2α​2​(2n)​}

0-1分布的p区间估计

{12a(b−b2−4ac),12a(b+b2−4ac)}\left\{ \frac { 1 }{ 2a } (b-\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ),\frac { 1 }{ 2a } (b+\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ) \right\}{2a1​(b−b2−4ac​),2a1​(b+b2−4ac​)}

单侧区间估计

$\mu$的具有单侧置信区间下限的区间估计

(Xˉ−S∗ntα(n−1),+∞)(\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1),+\infty )(Xˉ−n​S∗​tα​(n−1),+∞)

$\mu$的具有单侧置信区间上限的区间估计

(−∞,Xˉ+S∗ntα(n−1))(-\infty,\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1))(−∞,Xˉ+n​S∗​tα​(n−1))

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