平衡树初阶——AVL平衡二叉查找树

一、什么是二叉树

1. 什么是树。

计算机科学里面的树本质是一个树状图。树首先是一个有向无环图，由根节点指向子结点。但是不严格的说，我们也研究无向树。所谓无向树就是将有向树的所有边看成无向边形成的树状图。树是一种递归的数据结构，所以我们研究树也是按照递归的方式去研究的。

2.什么是二叉树。

我们给出二叉树的递归定义如下：

（1）空树是一个二叉树。

（2）单个节点是一个二叉树。

（3）如果一棵树中，以它的左右子节点为根形成的子树都是二叉树，那么这棵树本身也是二叉树。

二、BST

1.什么是二叉排序树。

二叉排序树是一种二叉树，它满足树的中序遍历是有序的。

2.BST（Binary Search Tree）。

二叉查找树是一种最普通的二叉排序树，一般称作BST，也称为B-树。在这棵树中，满足在任意一个子树中，都满足左子树 < 根节点 < 右子树，即该树的中序遍历满足从小到大排序的结果。

3.如何构造一个二叉排序树？

很显然，要想构造一个BST，就必须在插入节点时，满足下面的原则：

（1）如果节点为空，则直接插入到该节点。

（2）如果节点不为空，且要插入的值小于等于当前节点的值，那么则将该节点插入到左子树当中。

（3）如果节点不为空，且要插入的值大于当前节点的值，那么则将该节点插入到右子树当中。

4.利用BST的性质对一个数组进行剃重。

由于BST有二叉排序树的性质，我们可以利用这样的性质对一个待定数组进行剃重。原理很简单，只需要在插入的时候如果已经发现了相等的节点的话，那么则不进行插入即可。也就是说，只有该树没有的节点，我们才进行相应的插入操作。

三、BST的相关操作

1.建树（createTree）

BST的建立是基于一个数组进行的，本质上是把数组中的数按顺序插入的树中。可以想象，，每插入一个数，平均时间复杂度为O(logn)，所以建树的平均时间复杂度为O(nlogn)。

2.查找某一个值d（searchTree）

如果我们需要在BST上查找一个值d，那么我们需要从根节点开始，按照下面的思路进行递归查询：

（1）如果当前节点为空，则未找到，返回NULL。

（2）如果当前节点不为空，且当前节点的值等于d，那么则找到，返回当前节点。

（3）如果当前节点不为空，且当前节点的值大于d，那么则递归在左子树中寻找。

（4）如果当前节点不为空，且当前节点的值小于d，那么则递归在右子树中寻找。

可以想象，查找操作的平均时间复杂度为O(logn)

3.删除一个值d（deleteTree）

如果我们想要删除一个值d的节点，那么显然首先需要找到该节点。如果没有找到，则删除操作失败，如果找到，继续下面的操作即可：

（1）如果找到的节点的右子树为空，那么直接用该节点的左节点替换当前节点即可。

（2）如果找到的节点的右子树不为空，且右子树的左子树不为空，则递归找该右子树的左子树。

（3）如果找到的节点的右子树不为空，且右子树的左子树为空，则：

①如果找到的该节点的右节点为空，则返回当前节点，用这个节点去替换需要删除的点即可。

②如果找到的该节点的右子树不为空，则首先用该右子树替换找到的节点，在用找到的节点替换需要删除的节点即可。

显然，删除操作的平均时间复杂度为O(logn)

四、AVL平衡二叉查找树

1.什么是平衡二叉树。

平衡二叉树是一种二叉排序树，并且满足树中任意一个节点的左右子树的高度保持平衡。

2.什么是AVL。

AVL是一种二叉查找树，并且满足树中任意一个节点的左右子树的高度差的绝对值小于等于1，即保持平衡系数不大于1。AVL也称B-BST（Balanced - Binary Search Tree），而AVL的名称只是与这种数据结构的作者有关。

3.引例：为什么会产生AVL

我们为什么需要研究AVL，换句话说，为什么我们要重视BST的平衡性能呢？我们看下面的一个例子。

我们用1,2,3,4,5,6,7,8,9来进行建树。我们发现，这样建树的结果如下：

可以看出，这样二叉树实际上退化为了一个链表。在最坏的情况下，插入和删除的时间复杂度都退化为了O(n)。

很显然，树的平衡性越好，这种退化越不明显。所以为了保持BST的高效，我们研究AVL是必要的。

4.如何保持AVL的平衡？

既然要保持左右子树高度差小于等于1，那么我们一定需要在节点里面定义一个新的属性，用来记录该节点为根的树的高度。由于建树的过程是递归的，所以树的高度的更新也是递归完成的。通过更新高度，我们就可以知道什么时候左右子树的高度差大于1了，这个时候产生了失衡。一旦某一个节点开始失衡，那么这个时候必须通过旋转操作使二叉树达到一个新的平衡。

五、AVL的相关操作

1.旋转操作（rotateAvl）

如果在某一个时刻二叉树发生了失衡，我们就需要对二叉树进行相应的旋转使得二叉树重新达到平衡。这个旋转并不是随意的，我们还要保证BST的基本性质，那就是中序遍历必须有序才行。

我们总结二叉树失衡的原因，可以归纳为以下四种情况（其中圆形节点代表失衡有关的节点，方形节点代表子树）

归纳后发现，对于情况（1）（2），都是由于左子树高度大于右子树高度形成的失衡。对于情况（3）（4）则是相反的情况。且情况（1）（3）互为镜像，情况（2）（4）互为镜像。所以我们只以（1）（2）种情况作为例子，（3）（4）情况的道理同出一辙。

对于情况（1），左子树高度大于右子树高度，而在左子树中，依然是左子树高度大于右子树高度。对于这样的情况，我们需要以1为根进行右转（rightRotate），右转的结果是，2变为新的根，而1则成为2的右节点，2原本的右子树则成为了1的左子树，即，如下图：

对于情况（2），左子树高度大于右子树高度，而在左子树中，左子树高度小于右子树高度。对于这样的情况，我们需要首先需要以2（leftRotate）为根进行左转，左转的结果是3变为1的左子树，而2变为3的左子树，而3原本的左子树成了2的右子树。如下图所示：

之后就转化为了情况（1），故只需要在以1为根进行右转即可。

通过这样的旋转操作，AVL重新达到了平衡。

这个旋转操作的时间复杂度是O(1)的。

2.高度更新操作。

由于高度更新是递归进行的，所以我们选择回溯的阶段进行高度更新。而一个节点的高度应该是左子树高度和右子树高度的最大值再加1。

高度更新在整个AVL中是必要的，不管建树过程中，还是插入操作，或者是删除操作中，我们都需要时时刻刻对高度进行更新，只有正确的更新高度，才能判断二叉树是否失衡。而一旦失衡，我们就需要进行上述的旋转操作，这些是相辅相承的。

高度更新的时间复杂度也是O(1)的。

3.插入操作（insertAvl）

在插入操作中，由于插入的新节点，有可能使原本的二叉树产生了失衡，故应该进行相应的旋转操作。故，这样插入操作能稳定在平均O(logn) 的时间复杂度内。

4.删除操作（deleteAvl）

再删除操作中，由于删除了节点，也有可能是原本平衡的二叉树产生失衡，故也应该进行相应的旋转操作。故，这样删除操作能稳定在O(logn) 的时间复杂度内。

六、代码实现（C/C++）

1.对于节点数据类型的处理：

#define Elem int //这样Elem就是节点中数据的类型。

2.节点结构体的二叉链表

 typedef struct LNode

 {

     Elem data;   //节点数据域

     int height;    //节点为根的树的高度

     struct LNode *left,*right;   //左子树和右子树

     struct LNode()   //构造函数

     {

         height=;

         left=right=NULL;

     }

 }LNode,*avlTree;

 //这样定义LNode是节点的类型，avlTree则是节点的指针类型。

3.右旋转子操作，返回旋转之后的根节点指针

 avlTree _rightRotate(avlTree &r)

 {

     int lh=,rh=;

     avlTree t=r->left;

     r->left=t->right;

     if(r->left) lh=r->left->height;

     if(r->right) rh=r->right->height;

     r->height=max(lh,rh)+;

     t->right=r;

     if(t->left==NULL) t->height=;

     else t->height=max(t->left->height,r->height)+;

     return t;

 }

4.左旋转子操作，返回旋转之后的根节点指针

 avlTree _leftRotate(avlTree &r)

 {

     int lh=,rh=;

     avlTree t=r->right;

     r->right=t->left;

     if(r->left) lh=r->left->height;

     if(r->right) rh=r->right->height;

     r->height=max(lh,rh)+;

     t->left=r;

     if(t->right==NULL) t->height=;

     t->height=max(t->height,r->height)+;

     return t;

 }

5.旋转主算法（发生失衡，按照规则进行旋转操作）

 void rotateAvl(avlTree &root)

 {

     int lh=,rh=;

     if(root->left) lh=root->left->height;

     if(root->right) rh=root->right->height;

     root->height=max(lh,rh)+;

     if(abs(lh-rh)>)

     {

         avlTree tp;

         int lp=,rp=;

         if(lh>rh) tp=root->left;

         else tp=root->right;

         if(tp->left!=NULL) lp=tp->left->height;

         if(tp->right!=NULL) rp=tp->right->height;

         if(lh>rh&&lp<rp) root->left=_leftRotate(tp);

         if(lh<rh&&lp>rp) root->right=_rightRotate(tp);

         if(lh>rh) root=_rightRotate(root);

         else root=_leftRotate(root);

     }

 }

6.插入操作，向二叉树r插入d。这里用sign标记表示是否进行剃重，如果sign为true则剃重，sign为false则表示可重复。

 void insertAvl(avlTree &r,Elem d,bool sign)

 {

     //递归出口

     if(r==NULL) {

         r=new LNode();

         r->data=d;

         r->height++;

         return;

     }

     if(d<=r->data)

     {

         if(d==r->data&&sign) return;

         insertAvl(r->left,d,sign);

     }

     else

     {

         insertAvl(r->right,d,sign);

     }

     rotateAvl(r);   //检验失衡并进行旋转

 }

7. 根据data数组建树。这里用sign标记表示是否进行剃重，如果sign为true则剃重，sign为false则表示可重复。

 void createAvl(avlTree &root,Elem data[],int n,bool sign)

 {

     int i;

     root=NULL;

     for(i=;i<n;i++)

     {

         insertAvl(root,data[i],sign);

     }

 }

8.查询root里面的数据d所在节点，如果查询成功，则返回该节点。若d数据不存在，则查询失败，返回NULL。

 avlTree searchAvl(avlTree root,Elem d)

 {

     if(root!=NULL)

     {

         if(d==root->data) return root;

         else if(d<root->data) return searchAvl(root->left,d);

         else searchAvl(root->right,d);

     }

     return NULL;

 }

9.在删除中寻找实际需要删除的点，返回实际点。

 avlTree _delete(avlTree &root)

 {

     avlTree ret=root;

     if(root->left) ret=_delete(root->left);

     else if(root->right)

     {

         ret=root->right;

         int t=root->data;

         root->data=root->right->data;

         ret->data=t;

         root->height=;

         root->right=NULL;

         return ret;

     }

     else

     {

         root=NULL;

         return ret;

     }

     rotateAvl(root);   //检验失衡并进行旋转

     return ret;

 }

10.删除主操作算法，删除root上的data数据所在节点

 void deleteAvl(avlTree &root,Elem data)

 {

     avlTree ret;

     if(!root) return;

     if(root->data!=data)   //未找到该节点，首先寻找该节点

     {

         if(data<root->data) ret=root->left;

         else ret=root->right;

         deleteAvl(ret,data);   //递归寻找

     }

     else     //找到该节点

     {

         if(!root->right)   //右子树为空

         {

             root=root->left;

         }

         else   //右子树不为空

         {

             avlTree t=_delete(root->right);   //寻找实际删除的节点

             root->data=t->data;

             free(t);

         }

     }

     rotateAvl(root);   //检验失衡并进行旋转

 }

于是我又找到了一份不错的模版总结，仅供参考！

Treap树

核心是利用随机数的二叉排序树的各种操作复杂度平均为O(lgn)

Treap模板：

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <ctime>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #include <cstdlib>

 #include <cmath>

 #include <utility>

 #include <vector>

 #include <queue>

 #include <map>

 #include <set>

 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

 #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))

 #define INF 0x3f3f3f3f

 #define MAXN 100005

 using namespace std;

 int cnt=,rt=; //节点编号从1开始

 struct Tree

 {

     int key, size, pri, son[]; //保证父亲的pri大于儿子的pri

     void set(int x, int y, int z)

     {

         key=x;

         pri=y;

         size=z;

         son[]=son[]=;

     }

 }T[MAXN];

 void rotate(int p, int &x)

 {

     int y=T[x].son[!p];

     T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size;

     T[x].son[!p]=T[y].son[p];

     T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size;

     T[y].son[p]=x;

     x=y;

 }

 void ins(int key, int &x)

 {

     if(x == )

         T[x = cnt++].set(key, rand(), );

     else

     {

         T[x].size++;

         int p=key < T[x].key;

         ins(key, T[x].son[!p]);

         if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri)

             rotate(p, x);

     }

 }

 void del(int key, int &x) //删除值为key的节点

 {

     if(T[x].key == key)

     {

         if(T[x].son[] && T[x].son[])

         {

             int p=T[T[x].son[]].pri > T[T[x].son[]].pri;

             rotate(p, x);

             del(key, T[x].son[p]);

         }

         else

         {

             if(!T[x].son[])

                 x=T[x].son[];

             else

                 x=T[x].son[];

         }

     }

     else

     {

         T[x].size--;

         int p=T[x].key > key;

         del(key, T[x].son[!p]);

     }

 }

 int find(int p, int &x) //找出第p小的节点的编号

 {

     if(p == T[T[x].son[]].size+)

         return x;

     if(p > T[T[x].son[]].size+)

         find(p-T[T[x].son[]].size-, T[x].son[]);

     else

         find(p, T[x].son[]);

 }

 int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小于等于key的节点个数

 {

     if(x == )

         return ;

     if(T[x].key <= key)

         return T[T[x].son[]].size++find_NoLarger(key, T[x].son[]);

     else

         return find_NoLarger(key, T[x].son[]);

 }

相关题目：POJ 3481 1442 2352

Splay Tree（伸展树）

核心就是过程Splay(x, y)，即将x节点转移到y节点的子节点上面（其中y是x的祖先）。

利用其中双旋的优势能够保证查询复杂度均摊为O(lgn)

一开始理解有些困难，其实实际上不做深入的理解就是，双旋的过程就是一个建立相对平衡的二叉树的一个过程。

》对于二叉树，最极端的情况就是线性插入，使得整棵二叉树退化为一条链。比如你查询链的最后一个节点，之后再次查询第一个节点。

1）若只是单旋通过Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点，需要O(n)复杂度，而查询第一个节点时又需要O(n)复杂度，来来往往就退化成一条链了。

2）若是双旋Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点上时，移动过程中建立起了相对平衡的二叉树，需要O(n)，也就是查询第一个节点时，大概是需要O(lgn)复杂度。这就降低了复杂度。可以证明，总的每个操作的均摊复杂度是O(lgn)。

具体证明可以参见杨思雨《伸展树的基本操作与应用》

I 用于维护单调队列：（以key为维护对象保证单调）

常用版：（支持相同值）

  Struct Tree{

 int key, size, fa, son[];

 }

 void PushUp(int x);

 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

 void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中

 int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处

 int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处

 int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处

 void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处

 void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处

 int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处

 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<

模板：

 int cnt=, rt=;

 struct Tree

 {

     int key, size, fa, son[];

     void set(int _key, int _size, int _fa)

     {

         key=_key;

         size=_size;

         fa=_fa;

         son[]=son[]=;

     }

 }T[MAXN];

 inline void PushUp(int x)

 {

     T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+;

 }

 inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋

 {

     int y=T[x].fa;

     T[y].son[!p]=T[x].son[p];

     T[T[x].son[p]].fa=y;

     T[x].fa=T[y].fa;

     if(T[x].fa)

         T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[] == y]=x;

     T[x].son[p]=y;

     T[y].fa=x;

     PushUp(y);

     PushUp(x);

 }

 void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中

 {

     while(T[x].fa != To)

     {

         if(T[T[x].fa].fa == To)

             Rotate(x, T[T[x].fa].son[] == x);

         else

         {

             int y=T[x].fa, z=T[y].fa;

             int p=(T[z].son[] == y);

             if(T[y].son[p] == x)

                 Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋

             else

                 Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋

         }

     }

     if(To == ) rt=x;

 }

 int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处

 {

     int x=rt;

     while(x && T[x].key != key)

         x=T[x].son[key > T[x].key];

     if(x) Splay(x, );

     return x;

 }

 int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处

 {

     int x=T[rt].son[];

     if(!x) return ;

     while(T[x].son[])

         x=T[x].son[];

     Splay(x, );

     return x;

 }

 int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处

 {

     int x=T[rt].son[];

     if(!x) return ;

     while(T[x].son[])

         x=T[x].son[];

     Splay(x, );

     return x;

 }

 void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处

 {

     if(!rt)

         T[rt = cnt++].set(key, , );

     else

     {

         int x=rt, y=;

         while(x)

         {

             y=x;

             x=T[x].son[key > T[x].key];

         }

         T[x = cnt++].set(key, , y);

         T[y].son[key > T[y].key]=x;

         Splay(x, );

     }

 }

 void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处

 {

     int x=find(key);

     if(!x) return;

     int y=T[x].son[];

     while(T[y].son[])

         y=T[y].son[];

     int z=T[x].son[];

     while(T[z].son[])

         z=T[z].son[];

     if(!y && !z)

     {

         rt=;

         return;

     }

     if(!y)

     {

         Splay(z, );

         T[z].son[]=;

         PushUp(z);

         return;

     }

     if(!z)

     {

         Splay(y, );

         T[y].son[]=;

         PushUp(y);

         return;

     }

     Splay(y, );

     Splay(z, y);

     T[z].son[]=;

     PushUp(z);

     PushUp(y);

 }

 int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处

 {

     if(!rt) return ;

     int x=rt, ret=;

     while(x)

     {

         if(p == T[T[x].son[]].size+)

             break;

         if(p>T[T[x].son[]].size+)

         {

             p-=T[T[x].son[]].size+;

             x=T[x].son[];

         }

         else

             x=T[x].son[];

     }

     Splay(x, );

     return x;

 }

 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<

 {

     if(!rt) return ;

     int x=rt, ret=, y;

     while(x)

     {

         y=x;

         if(T[x].key <= key)

         {

             ret+=T[T[x].son[]].size+;

             x=T[x].son[];

         }

         else

             x=T[x].son[];

     }

     Splay(y, );

     return ret;

 }

完全版：（支持相同值，支持区间删除，支持懒惰标记）

  Struct Tree{

 int key, num, size, fa, son[];

 }

 void PushUp(int x);

 void PushDown(int x);

 int Newnode(int key, int fa); //新建一个节点并返回

 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

 void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中

 int GetPth(int p, int To); //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中

 int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处

 int Prev(); //返回根节点的前驱

 int Succ(); //返回根结点的后继

 void Insert(int key); //插入key值

 void Delete(int key); //删除值为key的节点

 int GetRank(int key); //获得值<=key的节点个数

 void Delete(int l, int r); //删除值在[l, r]中的节点

模板：

 int cnt, rt;

 int Add[MAXN];

 struct Tree{

     int key, num, size, fa, son[];

 }T[MAXN];

 inline void PushUp(int x)

 {

     T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+T[x].num;

 }

 inline void PushDown(int x)

 {

     if(Add[x])

     {

         if(T[x].son[])

         {

             T[T[x].son[]].key+=Add[x];

             Add[T[x].son[]]+=Add[x];

         }

         if(T[x].son[])

         {

             T[T[x].son[]].key+=Add[x];

             Add[T[x].son[]]+=Add[x];

         }

         Add[x]=;

     }

 }

 inline int Newnode(int key, int fa) //新建一个节点并返回

 {

     ++cnt;

     T[cnt].key=key;

     T[cnt].num=T[cnt].size=;

     T[cnt].fa=fa;

     T[cnt].son[]=T[cnt].son[]=;

     return cnt;

 }

 inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋

 {

     int y=T[x].fa;

     PushDown(y);

     PushDown(x);

     T[y].son[!p]=T[x].son[p];

     T[T[x].son[p]].fa=y;

     T[x].fa=T[y].fa;

     if(T[x].fa)

         T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[] == y]=x;

     T[x].son[p]=y;

     T[y].fa=x;

     PushUp(y);

     PushUp(x);

 }

 void Splay(int x, int To) //将x节点移动到To的子节点中

 {

     while(T[x].fa != To)

     {

         if(T[T[x].fa].fa == To)

             Rotate(x, T[T[x].fa].son[] == x);

         else

         {

             int y=T[x].fa, z=T[y].fa;

             int p=(T[z].son[] == y);

             if(T[y].son[p] == x)

                 Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋

             else

                 Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋

         }

     }

     if(To == ) rt=x;

 }

 int GetPth(int p, int To) //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中

 {

     if(!rt || p > T[rt].size) return ;

     int x=rt;

     while(x)

     {

         PushDown(x);

         if(p >= T[T[x].son[]].size+ && p <= T[T[x].son[]].size+T[x].num)

             break;

         if(p > T[T[x].son[]].size+T[x].num)

         {

             p-=T[T[x].son[]].size+T[x].num;

             x=T[x].son[];

         }

         else

             x=T[x].son[];

     }

     Splay(x, );

     return x;

 }

 int Find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处

 {

     if(!rt) return ;

     int x=rt;

     while(x)

     {

         PushDown(x);

         if(T[x].key == key) break;

         x=T[x].son[key > T[x].key];

     }

     if(x) Splay(x, );

     return x;

 }

 int Prev() //返回根节点的前驱 非重点

 {

     if(!rt || !T[rt].son[]) return ;

     int x=T[rt].son[];

     while(T[x].son[])

     {

         PushDown(x);

         x=T[x].son[];

     }

     Splay(x, );

     return x;

 }

 int Succ() //返回根结点的后继 非重点

 {

     if(!rt || !T[rt].son[]) return ;

     int x=T[rt].son[];

     while(T[x].son[])

     {

         PushDown(x);

         x=T[x].son[];

     }

     Splay(x, );

     return x;

 }

 void Insert(int key) //插入key值

 {

     if(!rt)

         rt=Newnode(key, );

     else

     {

         int x=rt, y=;

         while(x)

         {

             PushDown(x);

             y=x;

             if(T[x].key == key)

             {

                 T[x].num++;

                 T[x].size++;

                 break;

             }

             T[x].size++;

             x=T[x].son[key > T[x].key];

         }

         if(!x)

             x=T[y].son[key > T[y].key]=Newnode(key, y);

         Splay(x, );

     }

 }

 void Delete(int key) //删除值为key的节点1个

 {

     int x=Find(key);

     if(!x) return;

     if(T[x].num>)

     {

         T[x].num--;

         PushUp(x);

         return;

     }

     int y=T[x].son[];

     while(T[y].son[])

         y=T[y].son[];

     int z=T[x].son[];

     while(T[z].son[])

         z=T[z].son[];

     if(!y && !z)

     {

         rt=;

         return;

     }

     if(!y)

     {

         Splay(z, );

         T[z].son[]=;

         PushUp(z);

         return;

     }

     if(!z)

     {

         Splay(y, );

         T[y].son[]=;

         PushUp(y);

         return;

     }

     Splay(y, );

     Splay(z, y);

     T[z].son[]=;

     PushUp(z);

     PushUp(y);

 }

 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数

 {

     if(!Find(key))

     {

         Insert(key);

         int tmp=T[T[rt].son[]].size;

         Delete(key);

         return tmp;

     }

     else

         return T[T[rt].son[]].size+T[rt].num;

 }

 void Delete(int l, int r) //删除值在[l, r]中的所有节点 l!=r

 {

     if(!Find(l)) Insert(l);

     int p=Prev();

     if(!Find(r)) Insert(r);

     int q=Succ();

     if(!p && !q)

     {

         rt=;

         return;

     }

     if(!p)

     {

         T[rt].son[]=;

         PushUp(rt);

         return;

     }

     if(!q)

     {

         Splay(p, );

         T[rt].son[]=;

         PushUp(rt);

         return;

     }

     Splay(p, q);

     T[p].son[]=;

     PushUp(p);

     PushUp(q);

 }

相关题目：HNOI 2002 POJ3481 POJ2352 POJ1442

NOI2004 郁闷的出纳员

II 用于维护序列：（以序列下标为对象维护，相当于对区间操作）（能够完成线段树的操作及其不能完成的操作）

  Struct Tree{

 int key, sum, size, fa, son[];

 }

 支持操作：

 void PushUp(int x);

 void PushDown(int x);

 int MakeTree(int l, int r, int a[]); //新建一个子树返回根节点

 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

 void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中

 int Select(int p, int To); //将第p个数移动到To的子节点中 并返回该节点

 int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处

 int Prev(); //返回根节点的前驱

 int Succ(); //返回根结点的后继

 void Insert(int p, int l, int r, int a[]) //将a[l .. r]的数插入到下标为p后面

 void Delete(int l, int r); //删除区间[l, r]中的节点

 int Query(int l, int r); //返回[l, r]的和

 待补充。。

 Size Balance Tree

 和上述两种二叉树比起来，SBT可能是最像真正平衡二叉树吧。

 SBT能够保证树的高度在lgn，这样对于插入，删除操作都能够准确保证时间复杂度在O(lgn)

 Maintain操作事实上理解起来也是挺简单的，至于证明参见CQF神牛的 《SBT》

模版：

 int cnt, rt;

 struct Tree

 {

     int key, size, son[];

 }T[MAXN];

 inline void PushUp(int x)

 {

     T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+;

 }

 inline int Newnode(int key)

 {

     ++cnt;

     T[cnt].key=key;

     T[cnt].size=;

     T[cnt].son[]=T[cnt].son[]=;

     return cnt;

 }

 void Rotate(int p, int &x)

 {

     int y=T[x].son[!p];

     T[x].son[!p]=T[y].son[p];

     T[y].son[p]=x;

     PushUp(x);

     PushUp(y);

     x=y;

 }

 void Maintain(int &x, int p) //维护SBT的!p子树

 {

     if(T[T[T[x].son[p]].son[p]].size > T[T[x].son[!p]].size)

         Rotate(!p, x);

     else if(T[T[T[x].son[p]].son[!p]].size > T[T[x].son[!p]].size)

         Rotate(p, T[x].son[p]), Rotate(!p, x);

     else return;

     Maintain(T[x].son[], );

     Maintain(T[x].son[], );

     Maintain(x, );

     Maintain(x, );

 }

 inline int Prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0

 {

     int x=T[rt].son[];

     if(!x) return ;

     while(T[x].son[])

         x=T[x].son[];

     return x;

 }

 inline int Succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0

 {

     int x=T[rt].son[];

     if(!x) return ;

     while(T[x].son[])

         x=T[x].son[];

     return x;

 }

 void Insert(int key, int &x)

 {

     if(!x) x=Newnode(key);

     else

     {

         T[x].size++;

         Insert(key, T[x].son[key > T[x].key]);

         Maintain(x, key > T[x].key);

     }

 }

 bool Delete(int key, int &x) //删除值为key的节点 key可以不存在

 {

     if(!x) return ;

     if(T[x].key == key)

     {

         if(!T[x].son[])

         {

             x=T[x].son[];

             return ;

         }

         if(!T[x].son[])

         {

             x=T[x].son[];

             return ;

         }

         int y=Prev();

         T[x].size--;

         return Delete(T[x].key, T[x].son[]);

     }

     else

         if(Delete(key, T[x].son[key > T[x].key]))

         {

             T[x].size--;

             return ;

         }

 }

 int GetPth(int p, int &x) //返回第p小的节点

 {

     if(!x) return ;

     if(p == T[T[x].son[]].size+)

         return x;

     if(p > T[T[x].son[]].size+)

         return GetPth(p-T[T[x].son[]].size-, T[x].son[]);

     else

         return GetPth(p, T[x].son[]);

 }

 int GetRank(int key, int &x) //找出值<=key的节点个数

 {

     if(!x) return ;

     if(T[x].key <= key)

         return T[T[x].son[]].size++GetRank(key, T[x].son[]);

     else

         return GetRank(key, T[x].son[]);

 }