我在知乎上看到一句话,如一道晴天霹雳:
题意
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给定一个长度为 \(n\) 的整数序列,从中找出一段长度不超过 \(m\) 的子串,使得子串中所有数的和最大。
其中, \(n,m\leqslant 3\times 10^5\) 。
思路
首先要计算区间和,易想到预处理前缀和( \(s[i]=\sum\limits_{j=1}^ia[j],s[0]=0\) ),那么问题可以转化为:找出两个端点 \(l,r(r-l\leqslant m)\) ,使 \(s[r]-s[l]\) 最大。
我们可以先枚举右端点 \(r\) ( \(l\) 也就随之确定),当 \(r\) 固定时,肯定希望 \(s[l]\) 越小越好,问题又可转化为:找出左端点 \(l(l\in[i-m,i-1])\) ,使 \(s[l]\) 最小。
由此,可以易想到一个 \(O(nm)\) 的算法,但显然超时,∵我们把所有情况都进行处理,其实所有 \([i-m,i-1]\) 区间内大于最小值的数都是无用的,但又不可能对区间排序。(属于是火上浇油)
那我们就希望把区间值放到另一个结构里计算,以较高的效率从中得到最小值,且要符合 \(r\) 不断右移,从右边进新值,并从左边出旧值,还要保持单调性。
∴想到用 \(\boxed{单调队列}\) 来维护区间。
假设序列为 \(\{1,-3,5,1,-2,-3\}\) ,则 \(s=\{1,-2,3,4,2,5\}\) 。
已知队列是先进先出的顺序,我们要使进来的值单调(例如可以单调递增),那么我们抽象对比一下两个值 \(x,y\) ,且按顺序进队。如果 \(x\geqslant y\) ,那么 \(x\) 完全就没有用了,把它弹出,继续按照这个逻辑,如图:
(为便于形象展示,单调队列图中存值,实际代码中,为方便调用,存对应下标)
维护时有两种操作:
队头需要弹出值,超过长度限制的值弹出。
队尾需要加入值,不断将前面大于自己的数删掉。
可见,维护时每个点最多进队、出队一次,总的时间复杂度就降到了 \(O(n)\) 。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
int n,m;
int Q[N],h,t;
ll s[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
cin>>x;
s[i]=s[i-1]+x;
}
ll ans=LLONG_MIN;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(h<=t && Q[h]<i-m) h++;
ans=max(ans,s[i]-s[Q[h]]);
while(h<=t && s[Q[t]]>=s[i]) t--;
Q[++t]=i;
}
cout<<ans;
return 0;
}
总结
单调队列的思想:在决策集合(队列)中及时排除一定不是最优解的选择。