Myhchael原创题系列 Mychael vs Kid 【题解】

题目链接##

Mychael vs Kid

题解##

先说说这题的由来及前身

前身##

首先有一个很经典的题目：

维护区间加，查询区间\(gcd\)

如果强行用线段树维护的话，区间加之后就没法直接确定当前区间的\(gcd\)，不可直接维护

这个时候就用到了\(gcd\)的一个性质：

\[(a,b) = (a - b,b)
\]

三个的\(gcd\)也是符合的：

\[(a,b,c) = (a,b,c - b) = (a,b - a,c - b)
\]

同样可以推广出\(n\)个的情况

\[gcd\{a_i\} = gcd(a_1,gcd\{a_j - a_{j - 1}\}) \qquad i \in [1,n] \quad j \in [2,n]
\]

也就是说，区间差分了之后，我们要求原区间\(gcd[l,r]\)，就相当于求\(a_l\)和差分后区间\([l + 1,r]\)的\(gcd\)

所以我们只需维护差分区间和区间每个位置的值即可

维护区间值用线段树一点问题都没有

在加法下维护差分区间，一个区间加上一个数，仅影响区间端点的值，所以单点修改即可

所以我们开两棵线段树，一棵维护权值，一棵维护差值的\(gcd\)，即可\(O(nlog^2n)\)解决这道题

本题##

本题多加入了一个区间乘法操作

本来想\(yy\)分块的，可后来发现线段树依旧可写并且暴艹分块

思考一下发现，区间乘法后，区间差分值也乘上那个数，对应\(gcd\)也乘上一个数，可以使用线段树维护

至于端点的差值改变，只需取出端点的值计算出差值后单点加法修改即可

复杂度依旧是\(O(nlog^2n)\)

部分分##

前\(5\%\)，咳，，，

对于\(n,m \le 300\)，暴力求即可

对于没有操作\(2\)的，就是原版题目

对于\(n,m \le 3 \times 10^4\)的，可以考虑分块

std

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<map>

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)

#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))

#define cp pair<int,int>

#define LL long long int

#define ls (u << 1)

#define rs (u << 1 | 1)

using namespace std;

const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

LL n,m,A[maxn],D[maxn];

LL gcd(LL a,LL b){

	if (a < 0) a = -a;

	if (b < 0) b = -b;

	return b ? gcd(b,a % b) : a;

}

struct Seg_Gcd{

	LL Gcd[maxn << 2],tag[maxn << 2];

	void upd(int u){

		Gcd[u] = gcd(Gcd[ls],Gcd[rs]);

	}

	void pd(int u){

		if (tag[u] != 1){

			Gcd[ls] *= tag[u]; tag[ls] *= tag[u];

			Gcd[rs] *= tag[u]; tag[rs] *= tag[u];

			tag[u] = 1;

		}

	}

	void build(int u,int l,int r){

		tag[u] = 1;

		if (l == r){

			Gcd[u] = D[l];

			return;

		}

		int mid = l + r >> 1;

		build(ls,l,mid);

		build(rs,mid + 1,r);

		upd(u);

	}

	void Add(int u,int l,int r,int pos,int v){

		if (l == r){Gcd[u] += v; return;}

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= pos) Add(ls,l,mid,pos,v);

		else Add(rs,mid + 1,r,pos,v);

		upd(u);

	}

	void Mult(int u,int l,int r,int L,int R,int v){

		if (l >= L && r <= R){Gcd[u] *= v; tag[u] *= v; return;}

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= L) Mult(ls,l,mid,L,R,v);

		if (mid < R) Mult(rs,mid + 1,r,L,R,v);

		upd(u);

	}

	LL query(int u,int l,int r,int L,int R){

		if (l >= L && r <= R) return Gcd[u];

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= R) return query(ls,l,mid,L,R);

		if (mid < L) return query(rs,mid + 1,r,L,R);

		return gcd(query(ls,l,mid,L,R),query(rs,mid + 1,r,L,R));

	}

}T2;

struct Seg{

	LL val[maxn << 2],mult[maxn << 2],add[maxn << 2];

	void pd(int u){

		if (mult[u] != 1){

			val[ls] *= mult[u]; mult[ls] *= mult[u]; add[ls] *= mult[u];

			val[rs] *= mult[u]; mult[rs] *= mult[u]; add[rs] *= mult[u];

			mult[u] = 1;

		}

		if (add[u]){

			val[ls] += add[u]; add[ls] += add[u];

			val[rs] += add[u]; add[rs] += add[u];

			add[u] = 0;

		}

	}

	void build(int u,int l,int r){

		add[u] = 0; mult[u] = 1;

		if (l == r){

			val[u] = A[l];

			return;

		}

		int mid = l + r >> 1;

		build(ls,l,mid);

		build(rs,mid + 1,r);

	}

	void Add(int u,int l,int r,int L,int R,int v){

		if (l >= L && r <= R){val[u] += v; add[u] += v; return;}

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= L) Add(ls,l,mid,L,R,v);

		if (mid < R) Add(rs,mid + 1,r,L,R,v);

	}

	void Mult(int u,int l,int r,int L,int R,int v){

		if (l >= L && r <= R){val[u] *= v; add[u] *= v; mult[u] *= v; return;}

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= L) Mult(ls,l,mid,L,R,v);

		if (mid < R) Mult(rs,mid + 1,r,L,R,v);

	}

	LL query(int u,int l,int r,int pos){

		if (l == r) return val[u];

		pd(u);

		int mid = l + r >> 1;

		if (mid >= pos) return query(ls,l,mid,pos);

		return query(rs,mid + 1,r,pos);

	}

}T1;

int main(){

	n = read(); m = read();

	for (int i = 1; i <= n; i++){

		A[i] = read();

		D[i] = A[i] - A[i - 1];

	}

	T1.build(1,1,n);

	T2.build(1,1,n);

	LL opt,l,r,v,t1,t2;

	while (m--){

		opt = read(); l = read(); r = read();

		if (opt == 1){

			v = read();

			T1.Add(1,1,n,l,r,v);

			T2.Add(1,1,n,l,v);

			if (r + 1 <= n) T2.Add(1,1,n,r + 1,-v);

		}

		else if (opt == 2){

			v = read();

			t1 = T1.query(1,1,n,l);

			if (r + 1 <= n) t2 = T1.query(1,1,n,r);

			if (l < r) T2.Mult(1,1,n,l + 1,r,v);

			T2.Add(1,1,n,l,t1 * v - t1);

			if (r + 1 <= n) T2.Add(1,1,n,r + 1,t2 - t2 * v);

			T1.Mult(1,1,n,l,r,v);

		}

		else {

			if (l < r) printf("%lld\n",gcd(T1.query(1,1,n,l),T2.query(1,1,n,l + 1,r)));

			else printf("%lld\n",T1.query(1,1,n,l));

		}

	}

	return 0;

}