Problem

[AGC001E] BBQ Hard

计算:

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}
\]

其中\(n \leq 2 \times 10^5\)，\(a_i,b_i \leq 2000\)

Solution

以\(a_i\)代\(a_i+b_i\)则等价于求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}
\]

考虑使得式子变得更加对称，我们可以不限制\(i,j\)的相对大小，之后减去\(i=j\)的情况再除以\(2\)即可。

\[\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = i + 1}^{n}\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}=
\dfrac{1}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}-\sum_{i = 1}^{n}\binom{2a_i}{2b_i}\right)
\]

问题转化为求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}
\]

代数法

推导过程

考虑将\(i,j\)拆开分别计算贡献，可以联想到Vandermonde卷积

于是原式转换为

\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}
&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\sum_k\binom{a_i}{b_i-k}\binom{a_j}{b_j+k} \\
&=\sum_k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i}{b_i-k}\binom{a_j}{b_j+k} \\
&=\sum_k\left(\sum_{i=1}^{n}\binom{a_i}{b_i-k}\right)\left(\sum_{j=1}^n\binom{a_j}{b_j+k}\right) \\
&=\sum_{k}F(k)F(-k)
\end{aligned}
\]

其中\(F(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\binom{t_i}{a_i+k}\)

然后我们容易想到一个\(O(na)\)的做法，那就是直接计算\(F(k)\)，注意由于\(k\)的范围是\([-2000,2000]\)，所以我们需要将\(k\)平移至\([0,4000]\)，这样就可以用一个数组来存储\(F(k)\)了。

for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        if (k + b[i] >= 0 && k + b[i] <= a[i]) {

            F[k + SHIFT] = (F[k + SHIFT] + C[a[i]][k + b[i]]) % MOD;

        }

    }

}

优化

这个也许卡卡常就能过了，但是我们尝试去追求更好的时间复杂度

事实上，我们利用生成函数的相关知识，有

\[\begin{aligned}
F(k)&=\sum_{i=1}^n\binom{t_i}{a_i+k}\\
&= \sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}[x^{b_i+k}]\\
&=[x^k]\sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}x^{-b_i}\\
&=[x^k+SHIFT]\sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}x^{-b_i+SHIFT}\\
&=[x^k+SHIFT]\sum_{A}(1+x)^A\sum_{i,a_i=A}x^{-b_i+SHIFT}
\end{aligned}
\]

其中\([x^i]\)表示\(x^i\)项的系数。

则我们只需要求出

\[\sum_{A}(1+x)^A\sum_{i,a_i=A}x^{-b_i+SHIFT}
\]

这个式子可以用秦九韶算法来求，复杂度降低至\(O(a^2)\)

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

    bInA[a[i]].push_back(-b[i] + SHIFT);

}

for (int i = maxa; i >= 0; --i) {

    for (int k = 2* SHIFT; k >= 1; --k) {

        F[k] = (F[k] + F[k - 1]) % MOD;

    }

    for (auto bInAi : bInA[i]) {

        F[bInAi] = (F[bInAi] + 1) % MOD;

    }

}

完整代码

#include<iostream>

#include<vector>

using namespace std;

const int MAX_N = 200005, MOD = 998244353, MAX_A = 4000 + 5, SHIFT = 2000;

int ans, n, a[MAX_N], b[MAX_N], maxa, C[MAX_A][MAX_A], mink, maxk;

int fac[MAX_A * 2], inv[MAX_A * 2], invfac[MAX_A * 2];

int F[MAX_A];//from -2000 to 2000, 加上基数2000

int binom(int n, int k) {

    if (n < k) {

        return 0;

    }

    return 1ll * fac[n] * invfac[k] % MOD * invfac[n - k] % MOD;

}

vector<int> bInA[MAX_A];

signed main() {

    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        cin >> a[i] >> b[i];

        a[i] += b[i];

        maxa = max(maxa, a[i]);

        mink = min(mink, -b[i]);

        maxk = max(maxk, a[i] - b[i]);

    }

    for (int i = 0; i <= maxa; ++i) {

        C[i][0] = 1;

        for (int j = 1; j <= i; ++j) {

            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD;

        }

    }

    /*for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {

            if (k + b[i] >= 0 && k + b[i] <= a[i]) {

                F[k + SHIFT] = (F[k + SHIFT] + C[a[i]][k + b[i]]) % MOD;

            }

        }

    }*/

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        bInA[a[i]].push_back(-b[i] + SHIFT);

    }

    for (int i = maxa; i >= 0; --i) {

        for (int k = 2* SHIFT; k >= 1; --k) {

            F[k] = (F[k] + F[k - 1]) % MOD;

        }

        for (auto bInAi : bInA[i]) {

            F[bInAi] = (F[bInAi] + 1) % MOD;

        }

    }

    for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {

        ans = (ans + 1ll * F[k + SHIFT] * F[-k + SHIFT] % MOD) % MOD;

    }

    fac[0] = inv[0] = invfac[0] = 1;

    fac[1] = inv[1] = invfac[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= maxa * 2; ++i) {

        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;

        inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;

        invfac[i] = 1ll * invfac[i - 1] * inv[i] % MOD;

    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        ans = (ans - binom(2 * a[i], 2 * b[i]) + MOD) % MOD;

    }

    ans = 1ll * ans * inv[2] % MOD;

    cout << ans << endl;

    return 0;

}

组合意义法

我们可以把这个值看做在网格图上的一点\((−a[i],−b[i])\)走到(a[j],b[j])$的方案数。

而网格图走的方案数可以直接递推得到。

那么我们对于每个点把它的坐标取反到第三象限，然后对于整个坐标系计算走到每一个格子的总方案。

递推式与网格路径完全相同

f[i][j] = (1ll * f[i][j] + f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % MOD;

需要注意的是初始条件

for(int i = 1; i <= n; i++){

    f[SHIFT - a[i]][SHIFT - b[i]]++;

}

[AGC001E] BBQ Hard题解的相关教程结束。