1. 引言
随着科学技术的发展，人们对宏观和微观世界逐步了解，越来越多领域（物理学、化学、天文学、军事雷达、地震学、生物医学等）的微弱信号需要被检测，例如：弱磁、弱光、微震动、小位移、心电、脑电等[1～3]。测控技术发展到现在，微弱信号检测技术已经相对成熟，基本上采用以下两种方法来实现：一种是先将信号放大滤波，再用低或中分辨率的ADC进行采样，转化为数字信号后，再做信号处理，另一种是使用高分辨率ADC，对微弱信号直接采样，再进行数字信号处理。两种方法各有千秋，也都有自己的缺点。前一种方法，ADC要求不高，特别是现在大部分微处理器都集成有低或中分辨率的ADC，大大节省了开支，但是增加了繁琐的模拟电路。后一种方法省去了模拟电路，但是对ADC性能要求高，虽然∑-△ADC发展很快，已经可以做到24位分辨率，价格也相对低廉，但是它是用速度和芯片面积换取的高精度[4]，导致采样率做不高，特别是用于多通道采样时，由于建立时间长，采样率还会显著降低，因此，它一般用于低频信号的单通道测量，满足大多数的应用场合。而本文提出的方案，可以绕过上述两种方法的缺点，利用两者的优点实现微弱信号的高精度测量。
过采样技术是提高测控系统分辨率的常用方法，已经被广泛应用于各个领域。例如，过采样成功抑制了多用户CDMA系统中相互正交用户码接收机(A Mutually Orthogonal Usercode-Receiver，AMOUR)的噪声[5～6],提高了光流估计（optical flow estimation，OFE）的精度[7]，改善了正交频分复用（OFDM）信号的峰-均比[8]等。但是，这些过采样技术应用的前提是采样前的信号幅值能与ADC的输入范围相当。而用ADC采集微弱信号时，直接使用过采样技术提高不了精度，而且由于信号幅值远小于ADC的输入范围，它的有效位数还会减小，使精度随之下降。本文采用先叠加成形函数的方法，然后利用过采样技术，解决了因为信号幅值小，而使过采样失效的问题。本文还详细分析了成形函数类型和幅值，以及过采样率对分辨率的影响。
2. 原理分析
2.1 微弱信号直接过采样的分析
过采样是通过数字平均来减小折合到输入端的噪声，提高信噪比，从而提高分辨率[9]。下面分析为什么输入信号幅值很小时，需要叠加成形函数，才能利用过采样提高分辨率。
如图1所示，输入信号为一周期性三角波，当用一个中分辨率的ADC1对其进行采样时，ADC的量化步长LSB1大于三角波幅值，其采样值均为0，失去了原信号的特征。而用一个高分辨率ADC2进行采样，量化步长LSB2小于三角波幅值，其采样值分布会发生改变，不会只为0，便能反映一定的信号特征。因此，如果输入信号幅值很小时，过采样也能提高分辨率，那么当过采样率足够大时，ADC1提高后的分辨率便能分辨出图1中的三角波信号。然而，实际上，即使过采样率再高，ADC1采样获得的值仍然全部为0，并不能表征三角波的特性。所以，当输入信号幅值小于ADC的量化步长时，过采样是不能提高ADC分辨率的。
本文采用叠加成形函数的方法，使得输入信号幅值大于ADC的量化步长，解决上述提到的问题。为便于过采样后下抽取的方便，成形函数的选取往往用线性变化的函数[10]，如三角波，锯齿波等。下面便以锯齿波为例，详细阐述本方法的原理。
2.2 叠加成形函数后过采样分析
在分析之前，先对相关参数进行设定。ADC的分辨率为n位，输入满幅值为VREF，一个量化步长对应的模拟电压值为1LSB，过采样率为M。被测信号为s ，构造成形函数r为周期性锯齿波函数，幅值为C0，周期为采样M点所需要的时间。设，其中x为正整数，0≤△x<1。要提高分辨率，即要分辨出s中的△x。
由于信号s为微弱信号，且采用过采样，则可以做以下假设：
(1) s 在每个锯齿波周期中保持不变，可以看成直流，且整个信号的动态范围远小于ADC的动态范围。
(2) 为保证2.1节中所说的，使信号幅值大于一个量化步长，则成形函数的幅值，由于进入ADC的信号不能超过输入范围，因此构造的锯齿波幅值还必须满足 。
后文的叙述是以相关参数满足以上两个条件为基础进行的。下面从锯齿波幅值C0是否为整数倍量化步长来分析提高的分辨率。
2.2.1锯齿波幅值为整数倍量化步长
设（N ≥1），每个LSB内平均采样m 0 个点，则一个周期内锯齿波总的采样点数为M = N ×m 0。如图2所示，t1-t2内的采样点数为：（1-△x）m 0 ，而t3-t4内的采样点数为：△x×m 0，则ADC在t1-t4内的采样值分布为：
xLSB： （1-△x）m 0
（x+1）LSB： m 0
（x+2）LSB： m 0
（x+N-1）LSB： m 0
（x+N）LSB： △x×m 0
对所有采样值si求均值：
（1）
而锯齿波的幅值贡献为
（2）
由式（1）（2）得：，因此，只需对一个周期内的采样值求和再减掉成形函数（锯齿波）的均值，便可求的△x，提高信号的分辨率。
而实际应用中，要获得精确的整数倍LSB的锯齿波是很困难的,下面分析锯齿波幅值不为整数倍量化步长时的情况。
2.2.2锯齿波幅值不为整数倍量化步长
假设叠加的锯齿波的幅值，（N ≥1，0≤△N＜1）,每个LSB内采样点数为m0。由于△N +△x是否大于1，的表达式有所不同，下面从两个方面分析
（1）△N +△x≤1时
采样值分布只在t3-t4内发生改变，（x+N）LSB的采样点数为：（△x+△N）×m 0，则
（3）
而锯齿波的贡献也发生改变，为
（4）
由式（3）、（4）得：
（5）
由式（5）可以看出，s，与s值是有误差的，误差大小为：
（6）
（2）△N +△x≥1时
采样值分布也是在t3-t4内发生改变，由于△N +△x≥1，使得采样值多出(x+N+1)LSB的部分，采样点数为：（1-△N -△x）m0，而（x+N）LSB的采样点数则为m0。因此：
（7）
而锯齿波的表达式保持不变，则由式（4）、（5）（6）、（7）得：
（8）
3. 分辨率分析
提高的分辨率主要由哪些参数决定呢？ 通常判断是否能分辨开两个数值，主要看这两个数的差值是否大于最小分辨率，反过来说，最小分辨率等于两个数值恰好能分辨开时的差值。
如图3所示，分析x1和x2的采样值分布得到：x1在t2-t4的采样值分布与x2在t3-t4的相同，能否区别开x1和x2主要由x1在t1-t2和t4-t6的采样值分布与x2在t1-t3和t5-t6的采样值分布是否不同来决定。由图3可以看出，只要t2-t3内，能采集到数，则x1和x2的采样值分布就会不同，x1和x2就能分辨开来。t2-t3内采集一个点，对应纵坐标幅值AB至少为（1/m0）LSB（m0为每个LSB的采样点数），而AB= x2-x1，所以x2和x1的差值至少为（1/m0）LSB时才能分辨开。因此，提高的分辨率值为1/m0。综上所述，提高的分辨率由每个LSB内的采样点数m0决定，即由总的过采样倍数和叠加的锯齿波幅值决定。增加的位数可以通过过采样提高分辨率的方法来估计[11]，为：(10lgm0)/6.02或(10lgM/C0)/6.02。
4. 误差分析
由于叠加的锯齿波幅值很难做到整数倍的LSB，都会有△N的误差，根据△N、△x和的大小会使最终结果产生如式（6）、（8）所表示的误差。那么误差在什么范围内是可以接受的，对结果不会造成致命影响呢？下面对误差表达式进行分析。
由式（6）、（8）可以看出，当N和△N一定时，误差的最大值eM出现在△x=1-△N的位置，因而式（6）、（8）的最大值均为：
（9）
当N>>△N时，式（9）可写为：
（10）
由于△N也是有误差的，很明显式（10）在△N=0.5的时候会有最大值,有eMmax=0.25/N。
而用AD转换器进行采样时，产生的误差大小为一个LSB，同理，只要该算法产生的最大误差小于提高的分辨率1/m0就是可接受的，是不会影响测量结果的。因此有：，则N必须满足：
（11）
5. 结论
本文详细阐述了ADC采样微弱信号时利用过采样技术提高分辨率的方法，并且分析了该方法的误差，并从误差出发，给出了使用条件。
当成形函数幅值能保证在ADC量化步长整数倍时，该算法不会带来额外误差，在提高同样分辨率前提小，由于成形函数幅值越大，过采样率会越大，对ADC的采样速度要求会增加，而过小幅值的成形函数产生会有困难，在实际应用时应在这两者之间选取平衡点。
而成形函数幅值不为ADC量化步长整数倍的情况在实际应用中更为常见，本文用的算法会带来额外误差。由式（11）可知，成形函数幅值必需保证在一定的大小，该算法才算有效。由于成形函数幅值的要求，过采样率相当高时才能提高一定的分辨率，使得该方法效率不高。然而，式（11）给出的是最恶劣情况下的条件，实际应用中，用相同分辨率DAC产生的锯齿波幅值与选用的ADC整数倍量化步长的误差不会那么大，而且还可以采用其他辅助方法使得其幅值与ADC整数倍量化步长之间的误差减小，提高本算法的精度。
参考文献
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